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人教A版高中数学选修1-1课件3.1.2《空间向量的数乘运算》.pptx_高中教育_教育专区

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人教A版高中数学选修1-1课件3.1.2《空间向量的数乘运算》.pptx_高中教育_教育专区。高中数学课件 (鼎尚图文*****整理制作) 第三章 空间向量与立 体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算 本节课主要学习空间向量的数乘运算;共线向量定理及推 论;共面向量定理及推论.本课以复


高中数学课件 (鼎尚图文*****整理制作) 第三章 空间向量与立 体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算 本节课主要学习空间向量的数乘运算;共线向量定理及推 论;共面向量定理及推论.本课以复习空间向量加法、减法的 运算法则、几何意义、运算率及平面向量的数乘运算进行新 课导入,学习空间向量的数乘运算. 运用类比的思想,类比平面向量的数乘运算学习空间向量 的数乘运算.培养类比联想的探究意识和能力,二维到三维 ,平面到空间,思维拓展.例1和例2都是关于共面向量定理的 应用。例1是寻找四点共面的条件,例2是证明四点共面。 上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间. 平面向量 加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 运算 减法:三角形法则 空间向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 运 加法交换律 算 a?b?b?a 律 加法结合律: 减法:三角形法则 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、 减法实质是一样的. b b a a 结论:(1)空间中任意两个向量都是共面向量; (2)涉及空间中任意两个向量问题,平面向量中的有关结论仍 适用它们。 我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完 全相同呢? 空间向量的数乘运算 与平面向量一样,实数 ?与 空间向量 a的乘积?a 仍然是一个向量,称为向量的数乘运算. (1)当 ? ? 0 时,? a 与 a 的方向相同. (2)当 ? ? 0 时,? a与 a 的方向相同. (3)当 ? ? 0 时,? a是零向量. 的? a长度是 的a长度的 倍?. 例如: 3a a ?3a 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 即:?(a ? b) ? ?a ? ?b ?(?a) ? (??)a 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. 对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a ? ? b ,那么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ), a // b ? ?? ? R, a ? ?b. b a 如图,l 为经过已知点A且平行与已知非零向量 a 的直线,对空间任意一点O,点P在直线 l 上的充 要条件是存在实数t,使得OP ? OA ? ta ,其中向量 叫a 做直线 的l 方向向量. 若P为A,B中点, 则 ? ? OP ? 1 OA ? OB 2 P a B A l O 由l∥a知存在惟一的t,满足AP = ta, 对空间任意一点O,AP = OP - OA, 所以OP - OA = ta, 即OP = OA + ta, ① 若在l上取AB = a,则有 A l Pa B OP = OA + tAB. ② O ①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由 空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线. 共面向量 共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. b d c a 注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向 量既可能共面,也可能不共面. 那么什么情况下三个向量共面呢? ? e ? a 2? e1 由平面向量基本定理知,如果 e1 ,e2 是平面内的两个不共线的向量,那么 对于这一平面内的任意向量 a ,有且 只有一对实数 ?1 ,?2 使 a ? ?1e1 ? ?2 e 2 试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x ? y ? z ? 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP ? xOA ? yOB ? zOC 可变形为OP ? (1 ? y ? z)OA ? yOB ? zOC , ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) ∴ AP ? y AB ? z AC ∴点 P 与 A 、B 、C 共面. ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP ? m AB ? n AC ⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴OP ? OA ? m(OB ? OA) ? n(OC ? OA)∴OP ? (1? m ? n)OA ? mOB ? nOC ∵ OP ? xOA ? yOB ? zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面, ∴ x ? 1 ? m ? n, y ? m, z ? n , ∴ x ? y ? z ? 1 得证. 为什么? ※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法: ? (1)只需得到存在实数 ,使 AB ? ? BC 或AB ? k AC (2)对空间任意点O,存在实数t,使 OC ? (1? t)OA ? tOB 特别地,当t=1/2时, OC ? 1 (OA ? OB) 2 此时,点C恰为线段AB的 中点 典例展示 例1.若对任一点O和不共线的三点A,B,C,有 O则P ? xOA ? yOB ? zOC( x, y, z ? R), x+y+z=1是四点P,A,B,C共面的 ( C ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例2. 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外 一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上 分别取点E,F,G,H,并且使 O OE ? OF ? OG ? OH ? k, OA OB OC OD 求证: E,F,G,H四点共面.  A DC B H G E F 证明:因 OE ? OF ? OG ? OH ? k, OA OB OC OD 所以 OE ? kOA,OF ? kOB, OG ? kOC,OH ? kOD. 由于四形ABCD是平行四形,所以 AC ? AB ? AD . 因此 EG ? OG ? OE ? kOC ? kOA=k AC ? k( AB ? AD) ? k(OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ? EF ? EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面. 1.下列命题中正确的个数是( D ) ①若与a共线b ,与共线b ,则c 与共线; a c ②向量,a,共b面即c 它们所在的直线共面; ③若∥a ,则b 存在惟一的实数λ ,使=λ .a b A.1 B.2 C.3 D.0 2.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的 是( C ) A.O→M=3O→A-2O→B-O→C B.O→M+O→A+O→B+O→C= 0 C. M→A+M→B+M→C=0 D.O→M=14O→B-O→A+12O→C 3.下列说法正确的是( D ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 4.下列说法正确的是( C ) A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 5.已知 A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点, O→P=31 O→A+βO→B,则 2 β=___3_____. 共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重 平行于同一平面的向量,叫做共 合 面向量. 定理 ? ?? ? a // b(a ? 0) ? a ? ? ?b ? a ? b p p ? x? ? yb共面 推论 OP ? OA ? t AB OP ? OA ?x AB ? y AC ? OP ? xOA ? yOB ? zOC ? 0 OP ? xOA ? yOB(x ? y ? 1) (x ? y ? z ? 1) 运用 判断三点共线,或两直线平 判断四点共线,或直线平行于平 行 面 1.空间向量的数乘运算. 3.直线l的方向向量. 2.共线向量的概念. 4.共面向量的概念. 课后练习 课后习题
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鼎尚2019

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